Jeder von uns hat über lange Jahre Mathematik in der Schule (gehabt), aber auf die Frage nach dem Wesen der Mathematik kommt trotzdem meistens keine präzise Antwort, etwa: „Etwas mit Zahlen und mit Rechnen.“ Solche Antworten geben natürlich eine gewisse Charakterisierung, aber die Mathematik und die Faszination daran gehen weit darüber hinaus. Man kann Mathematik auch als eine Kompression bezeichnen, bei der wir mit unseren endlichen Mitteln sinnvolle Aussagen über große, mitunter unendlich große Bereiche machen. Dies soll am Beispiel der Dreierregel erklärt werden.
Die Dreierregel besagt, dass eine beliebige natürliche Zahl genau dann durch 3 teilbar ist, wenn die Quersumme dieser Zahl ebenfalls durch 3 teilbar ist.
Auch wenn wir diese Regel seit der Schulzeit immer wieder anwenden, so sollte man sich doch fragen, ob diese Regel tatsächlich stimmt:
- Gilt die Regel wirklich für alle Zahlen oder gibt doch Ausnahmen?
- Warum gibt es neben der Dreierregel noch eine Neunerregel, aber keine weitere?
Die Dreierregel ist eine Aussage über die unendlich vielen natürlichen Zahlen, keine Person kann alle Zahlen überprüfen, auch der schnellste Computer nicht. Trotzdem können wir die Aussage mit endlichen mathematischen Methoden beweisen.
Grundlage des Beweises ist die folgende Beobachtung bei der Division mit Rest:
10 mod 3 = 1 oder 10 / 3 = 3 Rest 1
Dies bedeutet, dass bei der Frage nach der Teilbarbeit durch 3 nicht zwischen 10 und 1 unterschieden werden kann. So wird die Frage, ob beispielsweise 45 = 4*10 +5 durch 3 teilbar ist, zur Frage, ob 4*1 + 5 = 9 durch 3 teilbar ist. Analog werden 100, 1´000, 10´000 … bei der Teilbarkeit durch 3 ununterscheidbar zu 1; und dies ergibt die Dreierregel für die unendlich vielen natürlichen Zahlen.
Die Neunerregel ergibt sich analog. Weitere Regeln gibt es aber nicht, da es diesen Rest 1 nur bei Teilern von 9 gibt, und das sind neben dem trivialen Teiler 1 nur 3 und 9. Die 9 spielt diese Rolle, weil 9 = 10-1 ist. Die Zahl 10 ist hier die Basis unseres Zahlsystems, woraus auch folgt, dass die Dreier- u. Neunerregeln in Zahlsystemen mit anderer Basis nicht unbedingt gelten würden. Ein Vigesimalsystem mit Basis 20, wie es beispielsweise von den Majas verwendet wurde, kennt nur eine 19er-Regel, da 19 = 20-1 eine Primzahl ist. Auf der anderen Seite gibt es im Hexadezimalsystem mit Basis 16 eine 15er-, 5er- u. 3er-Regel.
Einfach zur Erinnerung, in diesem kleinen Abschnitt haben wir eine Aussage über unendlich viele Zahlen bewiesen. Das ist doch faszinierend!
Dr. Konrad Schlude