Jeder von uns hat \u00fcber lange Jahre Mathematik in der Schule (gehabt), aber auf die Frage nach dem Wesen der Mathematik kommt trotzdem meistens keine pr\u00e4zise Antwort, etwa: „Etwas mit Zahlen und mit Rechnen.“ Solche Antworten geben nat\u00fcrlich eine gewisse Charakterisierung, aber die Mathematik und die Faszination daran gehen weit dar\u00fcber hinaus. Man kann Mathematik auch als eine Kompression bezeichnen, bei der wir mit unseren endlichen Mitteln sinnvolle Aussagen \u00fcber gro\u00dfe, mitunter unendlich gro\u00dfe Bereiche machen. Dies soll am Beispiel der Dreierregel erkl\u00e4rt werden.
Die Dreierregel besagt, dass eine beliebige nat\u00fcrliche Zahl genau dann durch 3 teilbar ist, wenn die Quersumme dieser Zahl ebenfalls durch 3 teilbar ist.
Auch wenn wir diese Regel seit der Schulzeit immer wieder anwenden, so sollte man sich doch fragen, ob diese Regel tats\u00e4chlich stimmt:<\/p>\n\n\n\n
Die Dreierregel ist eine Aussage \u00fcber die unendlich vielen nat\u00fcrlichen Zahlen, keine Person kann alle Zahlen \u00fcberpr\u00fcfen, auch der schnellste Computer nicht. Trotzdem k\u00f6nnen wir die Aussage mit endlichen mathematischen Methoden beweisen.<\/p>\n\n\n\n
Grundlage des Beweises ist die folgende Beobachtung bei der Division mit Rest:<\/p>\n\n\n\n
10 mod 3 = 1 oder<\/strong> 10 \/ 3 = 3 Rest 1<\/pre>\n\n\n\nDies bedeutet, dass bei der Frage nach der Teilbarbeit durch 3 nicht zwischen 10 und 1 unterschieden werden kann. So wird die Frage, ob beispielsweise 45 = 4*10 +5 durch 3 teilbar ist, zur Frage, ob 4*1 + 5 = 9 durch 3 teilbar ist. Analog werden 100, 1\u00b4000, 10\u00b4000 … bei der Teilbarkeit durch 3 ununterscheidbar zu 1; und dies ergibt die Dreierregel f\u00fcr die unendlich vielen nat\u00fcrlichen Zahlen.
<\/p>\n\n\n\nDie Neunerregel ergibt sich analog. Weitere Regeln gibt es aber nicht, da es diesen Rest 1 nur bei Teilern von 9 gibt, und das sind neben dem trivialen Teiler 1 nur 3 und 9. Die 9 spielt diese Rolle, weil 9 = 10-1 ist. Die Zahl 10 ist hier die Basis unseres Zahlsystems, woraus auch folgt, dass die Dreier- u. Neunerregeln in Zahlsystemen mit anderer Basis nicht unbedingt gelten w\u00fcrden. Ein Vigesimalsystem mit Basis 20, wie es beispielsweise von den Majas verwendet wurde, kennt nur eine 19er-Regel, da 19 = 20-1 eine Primzahl ist. Auf der anderen Seite gibt es im Hexadezimalsystem mit Basis 16 eine 15er-, 5er- u. 3er-Regel.
<\/p>\n\n\n\nEinfach zur Erinnerung, in diesem kleinen Abschnitt haben wir eine Aussage \u00fcber unendlich viele Zahlen bewiesen. Das ist doch faszinierend!<\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\nDr. Konrad Schlude<\/em><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"